我们必须接受失望，因为它是有限的，但千万不可失去希望，因为它是无穷的。
皮亚诺曲线
皮亚诺曲线是一种奇怪的曲线，只要恰当选择函数和由定义的一条连续的参数曲线，当参数t在0，1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。 皮亚诺曲线是一条连续而又不可导的曲线。 皮亚诺（Peano）曲线是一条能够填满正方形的曲线。 在传统概念中，曲线的数维是1维， 正方形是2维。 1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano G)发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间[0，1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连 续函数x=f(t)和y=g(t),使得x和y取属于单位正方形的每一个值。后来，希尔伯特作出了这条曲线。 一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。 但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。 这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。 这就是分形几何考虑的问题。 在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。 此外皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。 因此如果我们想要 研究传统意义上的曲线， 就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的 特例。
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